Электронный научно-педагогический журнал. Издается с 7 ноября 1995 года.

Электронное научное издание. Зарегистрировано в Федеральном депозитарии электронных изданий ФГУП НТЦ "Информрегистр" Министерства связи и информатизации РФ.
Государственная регистрация  # 0420600031 от 02.05.2006

Ляпцев Александр Викторович
доктор физико-математических наук, профессор кафедры методики обучения физике РГПУ им. А. И. Герцена

Сергеева Ирина Викторовна
аспирант кафедры методики обучения физике РГПУ им. А. И. Герцена
sergavtic@yandex.ru

Моделирование сложных физических процессов в школьном курсе физики

В статье рассматривается возможность доступного изложения некоторых физических явлений, сложных для восприятия школьниками, с использованием математического моделирования и натурного эксперимента.

Современные программы по курсу физики нацелены, в частности, на ознакомление учащихся с современными достижениями науки и техники. В школьном курсе физики и курсе общей физики в вузе изучаются явления, которые ещё недавно в научных кругах вызывали споры (например, явления в открытых системах). Многие из этих явлений трудны для восприятия школьника: они происходят на микроуровне или связаны с нелинейностью процессов. Их теоретическое описание так же не позволяет сделать их более доступными.

Понять суть достаточно сложных процессов, например, процессов, связанных с фазовыми переходами, позволяют упрощенные модели [1]. Такие модели должны, по возможности, демонстрировать основные качественные особенности моделируемых явлений, а с другой стороны являться наглядными и доступными для их осуществления. Безусловным достоинством модели является возможность создания натурной демонстрации и одновременно соответствующей математической модели, основанной на материале, изучаемом в рамках школьного курса физики. Возможности математического моделирования существенно расширяются при использовании вычислительной техники, что, в частности, позволяет сделать модель визуально наблюдаемой. Одна из подобных возможных моделей рассматривается в данной работе.

Рассмотрим одну из возможных моделей, иллюстрирующую механизм фазовых переходов второго рода. Подобные модели могут, например, описывать механизм выстраивания спинов электронов при переходе в ферромагнитное состояние или электрических моментов при переходе в сегнетоэлектрическое состояние. Такое выстраивание происходит спонтанно и определяется внешними факторами.

Натурная модель должна наглядно продемонстрировать спонтанное отклонение от симметричного состояния сразу всех объектов системы (проиллюстрировать ситуацию с доменами). Ориентацию микрообъектов в доменах можно показать с помощью соломинок для коктейлей. Соломинки, для придания им большего веса, заполняются пластилином. Связь между соломинками осуществляется с помощью резинового шнура, так как необходимо, чтобы связь с одной стороны была достаточно жёсткой, а с другой – соломинки могли бы двигаться, по возможности, независимо друг от друга. По мере увеличения уровня жидкости, вследствие увеличения силы Архимеда, соломинки начинают отклоняться, причём каждая в свою сторону. Направление отклонения зависит от случайных потоков жидкости и неоднородности самой соломки. Но, в итоге, начинают отклоняться в одну сторону. Это происходит за счёт сил упругости, возникающих в резиновом шнуре. Когда большая часть соломинок отклониться в одну сторону, они начинают тянуть за собой все остальные за счёт связи резиновым шнуром. Спиновое взаимодействие, в данном случае, моделируется резиновым шнуром, а флуктуации, необходимые для возникновения фазового перехода моделируется влиянием жидкости.
 

Демонстрация опыта позволяет проиллюстрировать, в частности нарушение симметрии системы при фазовом переходе. Принципы нарушения симметрии могут служить основой для объяснения любых фазовых переходов, что значительно упрощает формирование целостной физической картины мира.

Опишем теперь математическую модель, соответствующую предлагаемой натурной модели. В отсутствие сил, связывающих соломинки, вертикальное положение каждой из них соответствует положению равновесия, что следует из соображений симметрии. При малом уровне жидкости это положение равновесия является устойчивым, так что потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум. При повышении уровня жидкости сила Архимеда увеличивается. Когда уровень жидкости становится таким, что сила Архимеда начинает превосходить силу тяжести, вертикальное положение становится неустойчивым, и потенциальная энергия в положении равновесия имеет максимум. При этом возникают два новых положения равновесия, симметричные относительного исходного.

Простейшей функцией моделирующей кривую потенциальной энергии является функция 4-го порядка по координате:

                 (1)

При таком моделировании неустойчивое положение равновесия соответствует координате , а два симметричных устойчивых положения равновесия – координатам . Барьер, разделяющий устойчивые положения равновесия имеет высоту h (Рис. 3.).

Силу взаимодействия между двумя соседними элементами (соломинками) учтем добавкой к потенциальной энергии:

В этом выражении константа k играет роль жесткости соединяющей полоски резинки, а константы  и  соответствуют равновесным положениям соседних элементов.

Будем далее считать, что . Тогда координаты, соответствующие равновесным положениям изменятся незначительно (на величину порядка ). Если соседние элементы (справа и слева от рассматриваемого) находятся в различных положениях равновесия (например, , ), то форма кривой потенциальной энергии остается по-прежнему симметричной, однако величина барьера понижается на k . Если же оба соседних элемента находятся в одинаковых положениях равновесия, то кривая потенциальной энергии становится несимметричной (Рис. 4). Для удаления элемента от двух соседних требуется преодолеть больший барьер, чем для приближения к ним.

Параметр k учитывает лишь взаимодействие между ближайшими соседями. Существует, однако, еще некоторый кооперативный эффект. Если большинство соломинок отклонены вправо, то положения устойчивых положений равновесия каждой из соломинок также смещаются вправо. При этом в барьер перехода следует добавить некоторое слагаемое, учитывающее подобный кооперативный эффект. Этот учет может быть сделан путем замены высоты барьера h на:

В этом выражении верхний знак соответствует барьеру, который необходимо преодолеть при переходе из положения равновесия  в положение , а нижний знак – обратному переходу;  - полное число элементов в цепочке, а  - число элементов, находящихся в положении равновесия . Параметр c характеризует величину кооперативного эффекта.

Будем далее считать, что переход из одного положения равновесия в другое может происходить под воздействием флуктуаций, например, налетающих на элемент частиц. Переход в новое положение равновесия происходит только в том случае, если энергия налетевшей частицы больше величины барьера, которую необходимо преодолеть для осуществления перехода.

Будем считать, что энергия частицы связана с ее скоростью соотношением:  (массу полагаем равной единице).  Пусть распределение по скоростям соответствует распределению Максвелла. Будем считать для простоты движение одномерным. Тогда вероятность того, что модуль скорости частицы не превосходит значения , определяется выражением:

.            (4)

В этом выражении , T – температура в единицах энергии,  - интеграл вероятности. Вероятность  пробегает значения от 0 до 1. При моделировании можно считать, что эта величина равномерно распределена в интервале [0, 1], то есть задается случайным числом. Тогда, пользуясь соотношением (4) по этому случайному числу можно определить значение , а затем энергии налетающей частицы.

Рис.5  

Пользуясь вышеприведенными соотношениями, несложно сформулировать компьютерную модель, демонстрирующую во времени процесс фазового перехода в линейной цепочке элементов. На каждом временном шаге при помощи случайного числа определяется номер элемента, на который налетает частица, а затем при помощи другого случайного числа – энергия налетающей частицы, которая, естественно зависит от температуры. Переход элемента в новое положение равновесия происходит, если энергия достаточна для преодоления соответствующего барьера. Постепенно понижая температуру от достаточно большой величины (в несколько единиц h) можно наблюдать процесс «конденсации» - упорядочения линейной цепочки. Пользуясь стандартными средствами вычислительных сред, например, среды Matlab, можно сконструировать окно, в котором будет проводиться вычислительный эксперимент, имитирующий процесс конденсации (Рис. 5).

Заметим, что при значении параметра c=1, фазовый переход в цепочке не происходит, что соответствует отсутствию фазового перехода в одномерной модели Изинга (см., например [3]).

Литература:

1. Демидова Т. И. Методика использования моделирования в системе научения физике. Самара, 2000.

2. Соитов Р. И. Новые информационные технологии в обучении физике в средней школе. Уфа, БГПИ, 1995.

3. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела. М., «Мир», 1974.

Рекомендовано к публикации:
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, канд. физ.-мат.наук, член Редакционного совета